Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ comme une équation.

$y = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$ .

$\frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{{(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9} = 9 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}} = 9 x$

Étape 3.4

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{7} + 10)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.2

Simplifiez

$y^{7} + 10 = {(9 x)}^{5}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(9 x)}^{5}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 x$ .

$y^{7} + 10 = 9^{5} x^{5}$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $5$ .

$y^{7} + 10 = 59049 x^{5}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$y^{7} = 59049 x^{5} - 10$

Étape 3.6.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 {(\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9})}^{5} - 10}$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) - 10}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) - 10}$

Étape 5.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{9^{5}}) - 10}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Élevez $9$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $59049$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{59049 (\frac{x^{7} + 10}{59049}) - 10}$

Étape 5.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 10 - 10}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.5.3.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Étape 5.2.5.3.2

Additionnez $x^{7}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}}^{7}$ comme $59049 x^{5} - 10$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ comme ${(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{({(59049 x^{5} - 10)}^{\frac{7}{7}} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{((59049 x^{5} - 10) + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} - 10 + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $59049 x^{5} - 10 + 10$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $59049 x^{5}$ et $0$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(59049 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $59049 x^{5}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{59049^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $59049$ comme $9^{5}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{{(9^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.7

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{9}$

Étape 5.3.3.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Étape 5.3.3.8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x^{5 (\frac{1}{5})}}{9}$

Étape 5.3.3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{{(x^{7} + 10)}^{\frac{1}{5}}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{59049 x^{5} - 10}$