Algèbre Exemples

$\frac{{(i + 1)}^{2}}{3 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{{(i + 1)}^{2}}{3 - i}$ par le conjugué de $3 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{{(i + 1)}^{2}}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{{(i + 1)}^{2} (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(i + 1)}^{2}$ comme $(i + 1) (i + 1)$ .

$\frac{(i + 1) (i + 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2

Développez $(i + 1) (i + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(i (i + 1) + 1 (i + 1)) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(i i + i \cdot 1 + 1 (i + 1)) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(i i + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(i^{1} i + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(i^{1} i^{1} + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(i^{1 + 1} + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(i^{2} + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(- 1 + i \cdot 1 + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{(- 1 + i + 1 i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.4

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{(- 1 + i + i + 1 \cdot 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(- 1 + i + i + 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{(0 + i + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{(i + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.3.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i \cdot 3 + 2 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 i + 2 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.6

Multipliez $2 i i$ .

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Étape 2.2.6.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 i + 2 (i^{1} i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 i + 2 (i^{1} i^{1})}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 i + 2 i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 i + 2 i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 i + 2 \cdot - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 i - 2}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.8

Remettez dans l’ordre $6 i$ et $- 2$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 - i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 6 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{9 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{- 2 + 6 i}{10}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 2 + 6 i$ et $10$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1) + 6 i}{10}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 i$ .

$\frac{2 (- 1) + 2 (3 i)}{10}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (- 1 + 3 i)}{10}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (- 1 + 3 i)}{2 \cdot 5}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 + 3 i)}{2 \cdot 5}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + 3 i}{5}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{- 1 + 3 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{- 1}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} + \frac{3 i}{5}$