Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \div \frac{x^{2} - x - 56}{x + 7}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 10 x^{2} + 25 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 10 x^{2} + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $10 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + 25 x}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $25 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (10 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x) + x \cdot 25}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 10 x) + x \cdot 25$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x + 25)}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x \cdot x + 5 x} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot 5} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 64}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2} + 13 x + 40} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 13 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $13$ .

$5, 8$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x {(x + 5)}^{2}}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 8) (x - 8)}{(x + 5) (x + 8)} \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez.

$\frac{x {(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{x (x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{x (x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 5)}^{2}$ et $x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2} ((x + 8) (x - 8))$ .

$\frac{(x + 5) ((x + 5) ((x + 8) (x - 8)))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) ((x + 8) (x - 8)))}{(x + 5) ((x + 5) (x + 8))} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 5) ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) ((x + 8) (x - 8))}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 6.5.2

Divisez $x - 8$ par $1$ .

$(x - 8) \frac{x + 7}{x^{2} - x - 56}$

Étape 7

Factorisez $x^{2} - x - 56$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 56$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 8, 7$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 8) \frac{x + 7}{(x - 8) (x + 7)}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$(x - 8) \frac{x + 7}{(x - 8) (x + 7)}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$1$