Algèbre Exemples

$- x^{2} - 64 \leq - 16 x$

Étape 1

Ajoutez $16 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} - 64 + 16 x \leq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - 64 + 16 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 64 + 16 x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez $- 64$ .

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $16 x$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ .

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Étape 3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Étape 3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- {(x - 8)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 8)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez ${(x - 8)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 5

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 8$

$x > 8$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} - 64 \leq - 16 \cdot 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 64$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(10)}^{2} - 64 \leq - 16 \cdot 10$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 164$ est inférieur au côté droit $- 160$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 8$ Vrai

$x > 8$ Vrai

$x < 8$ Vrai

$x > 8$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 8$ ou $x \geq 8$

Étape 10

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 12