Algèbre Exemples

$2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\frac{4}{3}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

$2 u^{2} - u - 6 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 6 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $3$ plus $- 4$

$2 u^{2} + (3 - 4) u - 6 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 3 u - 4 u - 6 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + 3 u) - 4 u - 6 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 3) - 2 (2 u + 3) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 2) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x^{\frac{2}{3}} + 3$ égal à $0$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x^{\frac{2}{3}} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.3

Simplifiez

$2^{\frac{3}{2}} x = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{\frac{3}{2}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.2

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ par $2^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.4

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ par $2^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{3}{2}} = - {(- 3)}^{\frac{3}{2}}$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- {(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Définissez $x^{\frac{2}{3}} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{\frac{2}{3}} - 2$ égal à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x^{\frac{2}{3}} + 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, - \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - 6 = 0$ vrai.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 7