Algèbre Exemples

$a c + 2 b c - 6 a b - 3 a^{2} = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = c - 6 b$ et $c = 2 b c$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- (c - 6 b) \pm \sqrt{{(c - 6 b)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (2 b c))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- c - (- 6 b) \pm \sqrt{{(c - 6 b)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{{(c - 6 b)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.3

Réécrivez ${(c - 6 b)}^{2}$ comme $(c - 6 b) (c - 6 b)$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{(c - 6 b) (c - 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.4

Développez $(c - 6 b) (c - 6 b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c (c - 6 b) - 6 b (c - 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c \cdot c + c (- 6 b) - 6 b (c - 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c \cdot c + c (- 6 b) - 6 b c - 6 b (- 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1.1

Multipliez $c$ par $c$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} + c (- 6 b) - 6 b c - 6 b (- 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 c b - 6 b c - 6 b (- 6 b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 c b - 6 b c - 6 \cdot (- 6 b \cdot b) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1.4.1

Déplacez $b$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 c b - 6 b c - 6 \cdot (- 6 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 c b - 6 b c - 6 \cdot (- 6 b^{2}) - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 c b - 6 b c + 36 b^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $6 b c$ de $- 6 c b$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Déplacez $c$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 6 b c - 6 b c + 36 b^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.5.2.2

Soustrayez $6 b c$ de $- 6 b c$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 12 b c + 36 b^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot 2$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 12 b c + 36 b^{2} + 12 \cdot (2 b c)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} - 12 b c + 36 b^{2} + 24 b c}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.7

Additionnez $- 12 b c$ et $24 b c$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} + 36 b^{2} + 12 b c}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.8.1

Réorganisez les termes.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} + 12 b c + 36 b^{2}}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.8.2

Réécrivez $36 b^{2}$ comme ${(6 b)}^{2}$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} + 12 b c + {(6 b)}^{2}}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.8.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 b c = 2 \cdot c \cdot (6 b)$

Étape 3.1.8.4

Réécrivez le polynôme.

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{c^{2} + 2 \cdot c \cdot (6 b) + {(6 b)}^{2}}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.8.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = c$ et $b = 6 b$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm \sqrt{{(c + 6 b)}^{2}}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{- c + 6 b \pm (c + 6 b)}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$a = \frac{- c + 6 b \pm (c + 6 b)}{- 6}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- c + 6 b \pm (c + 6 b)}{- 6}$ .

$a = \frac{c - 6 b \pm (- (- c - 6 b))}{6}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{c - 6 b \pm (c - (- 6 b))}{6}$

Étape 3.4.2

Multipliez $- - c$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{c - 6 b \pm (1 c - (- 6 b))}{6}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$a = \frac{c - 6 b \pm (c - (- 6 b))}{6}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$a = \frac{c - 6 b \pm (c + 6 b)}{6}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = \frac{c}{3}$

$a = - 2 b$