Algèbre Exemples

$y = x - \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $x - \frac{1}{x}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Associez.

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Étape 5.1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot x - 1}{x}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x - 1}{x}$

Étape 5.1.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x}$

Étape 5.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} - 1}{x}$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Étape 5.1.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Étape 5.1.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Étape 5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Étape 5.3

Développez $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x}$

Étape 5.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x}$

Étape 5.3.11

Additionnez $- 1 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x}$

Étape 5.3.12

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 5.9

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Étape 5.10

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - \frac{1}{x}$

Étape 5.11

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 7