Algèbre Exemples

$\frac{4 + 3 i}{- 10 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 + 3 i}{- 10 + 1 i}$ par le conjugué de $- 10 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4 + 3 i}{- 10 + 1 i} \cdot \frac{- 10 - i}{- 10 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(4 + 3 i) (- 10 - i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(4 + 3 i) (- 10 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 10 - i) + 3 i (- 10 - i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot - 10 + 4 (- i) + 3 i (- 10 - i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot - 10 + 4 (- i) + 3 i \cdot - 10 + 3 i (- i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$\frac{- 40 + 4 (- i) + 3 i \cdot - 10 + 3 i (- i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 40 - 4 i + 3 i \cdot - 10 + 3 i (- i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i + 3 i (- i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $3 i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 i i}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 (i^{1} i)}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 (i^{1} i^{1})}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 i^{1 + 1}}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 i^{2}}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i - 3 \cdot - 1}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 40 - 4 i - 30 i + 3}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 40$ et $3$ .

$\frac{- 37 - 4 i - 30 i}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $30 i$ de $- 4 i$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{(- 10 + 1 i) (- 10 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 10 + 1 i) (- 10 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 - 34 i}{- 10 (- 10 - i) + 1 i (- 10 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 - 34 i}{- 10 \cdot - 10 - 10 (- i) + 1 i (- 10 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 - 34 i}{- 10 \cdot - 10 - 10 (- i) + 1 i \cdot - 10 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 - 10 (- i) + 1 i \cdot - 10 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i + 1 i \cdot - 10 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 10 i - 10 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $10 i$ de $10 i$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $100$ et $0$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{100 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $100$ et $1$ .

$\frac{- 37 - 34 i}{101}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{- 37 - 34 i}{101}$ en deux fractions.

$\frac{- 37}{101} + \frac{- 34 i}{101}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{37}{101} + \frac{- 34 i}{101}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{37}{101} - \frac{34 i}{101}$