Algèbre Exemples

$\frac{6 - 2 i}{4 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 - 2 i}{4 + 1 i}$ par le conjugué de $4 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 - 2 i}{4 + 1 i} \cdot \frac{4 - i}{4 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 - 2 i) (4 - i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 - 2 i) (4 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (4 - i) - 2 i (4 - i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 4 + 6 (- i) - 2 i (4 - i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 4 + 6 (- i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (- i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{24 + 6 (- i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (- i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{24 - 6 i - 2 i \cdot 4 - 2 i (- i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i - 2 i (- i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 2 i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 i i}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 (i^{1} i)}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 (i^{1} i^{1})}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 i^{1 + 1}}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 i^{2}}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i + 2 \cdot - 1}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{24 - 6 i - 8 i - 2}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $24$ .

$\frac{22 - 6 i - 8 i}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $8 i$ de $- 6 i$ .

$\frac{22 - 14 i}{(4 + 1 i) (4 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(4 + 1 i) (4 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 - 14 i}{4 (4 - i) + 1 i (4 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 - 14 i}{4 \cdot 4 + 4 (- i) + 1 i (4 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 - 14 i}{4 \cdot 4 + 4 (- i) + 1 i \cdot 4 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 + 4 (- i) + 1 i \cdot 4 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 1 i \cdot 4 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - 4 i + 4 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 4 i$ et $4 i$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{22 - 14 i}{16 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{22 - 14 i}{17}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{22 - 14 i}{17}$ en deux fractions.

$\frac{22}{17} + \frac{- 14 i}{17}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{22}{17} - \frac{14 i}{17}$