Algèbre Exemples

${(\frac{1}{x + 2})}^{2} + 7 (\frac{1}{x + 2}) + 6$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{1^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + 7 (\frac{1}{x + 2}) + 6$

Étape 1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + 7 (\frac{1}{x + 2}) + 6$

Étape 1.3

Associez $7$ et $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7}{x + 2} + 6$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{7}{x + 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + 6$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{7}{x + 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 2)} + 6$

Étape 2.3

Écrivez $6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 2)} + \frac{6}{1}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 2)} + \frac{6}{1} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 2)} + \frac{6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2)} + \frac{6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1}} + \frac{6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{{(x + 2)}^{1 + 1}} + \frac{6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{7 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 7 (x + 2) + 6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 7 x + 7 \cdot 2 + 6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 ((x + 2) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 (x^{2} + 4 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 x^{2} + 6 (4 x) + 6 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez

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Étape 4.7.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 x^{2} + 24 x + 6 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{1 + 7 x + 14 + 6 x^{2} + 24 x + 24}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1

Additionnez $1$ et $14$ .

$\frac{7 x + 15 + 6 x^{2} + 24 x + 24}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Additionnez $7 x$ et $24 x$ .

$\frac{31 x + 15 + 6 x^{2} + 24}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Additionnez $15$ et $24$ .

$\frac{31 x + 6 x^{2} + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Remettez dans l’ordre $31 x$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} + 31 x + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 39 = 234$ et dont la somme est $b = 31$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $31$ à partir de $31 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 31 (x) + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez $31$ comme $13$ plus $18$

$\frac{6 x^{2} + (13 + 18) x + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 18 x + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x) + 18 x + 39}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (6 x + 13) + 3 (6 x + 13)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $6 x + 13$ .

$\frac{(6 x + 13) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$