Algèbre Exemples

$x^{- 3} y^{2} (y x^{4} + y^{- 1} x^{3} + y^{- 2} x^{2})$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y^{2} (y x^{4} + y^{- 1} x^{3} + y^{- 2} x^{2})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{3}} (y x^{4} + y^{- 1} x^{3} + y^{- 2} x^{2})$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{3}} (y x^{4} + \frac{1}{y} x^{3} + y^{- 2} x^{2})$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{y}$ et $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{3}} (y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + y^{- 2} x^{2})$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{3}} (y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + \frac{1}{y^{2}} x^{2})$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{3}} (y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{x^{3}}$ par $y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{4} + \frac{x^{3}}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{4}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} (y x^{2}) + \frac{x^{3}}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{x^{3}}{y}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} (y x^{2}) + x^{2} \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} (y x^{2}) + x^{2} \frac{x}{y} + x^{2} \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (y x^{2}) + x^{2} \frac{x}{y}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} (y x^{2} + \frac{x}{y}) + x^{2} \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (y x^{2} + \frac{x}{y}) + x^{2} \frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} (y x^{2} + \frac{x}{y} + \frac{1}{y^{2}}))}{x^{3}}$

$\frac{y^{2} x^{2} (y x^{2} + \frac{x}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.2

Pour écrire $y x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{y x^{2} y}{y} + \frac{x}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{y x^{2} y + x}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $y x^{2} y + x$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $y x^{2} y$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y x y) + x}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y x y) + x^{1}}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y x y) + x \cdot 1}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (y x y) + x \cdot 1$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y x y + 1)}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y \cdot y x + 1)}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y^{2} x + 1)}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.5

Pour écrire $\frac{x (y^{2} x + 1)}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y^{2} x + 1)}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{x (y^{2} x + 1)}{y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y^{2} x + 1) y}{y \cdot y} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x (y^{2} x + 1) y}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}{x^{3}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x (y^{2} x + 1) y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{(x (y^{2} x) + x \cdot 1) y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{(x \cdot x y^{2} + x \cdot 1) y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{(x^{2} y^{2} + x \cdot 1) y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{(x^{2} y^{2} + x) y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x^{2} y^{2} y + x y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x^{2} (y \cdot y^{2}) + x y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.8.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x^{2} (y^{1} y^{2}) + x y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x^{2} y^{1 + 2} + x y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x^{2} y^{3} + x y + 1}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.9

Associez les exposants.

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Étape 3.9.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2} y^{3} + x y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.9.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2} (y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1))}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.10

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{x^{2} y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.11.1

Réduisez l’expression $\frac{x^{2} y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{y^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.11.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x^{2} y^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{y^{2}}}{x^{3}}$

Étape 3.11.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{1}}{x^{3}}$

Étape 3.11.2

Divisez $x^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{x^{3}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{x^{2} x}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} y^{3} + x y + 1)}{x^{2} x}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y^{3} + x y + 1}{x}$