Algèbre Exemples

$z = - 1 + \sqrt{3} i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 1$ et $b = \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 2$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{- 1})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{2 π}{3}$ et $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 2 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$