Algèbre Exemples

$\sqrt{2 a^{3} b^{3}} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1

Réécrivez $2 a^{3} b^{3}$ comme ${(a b)}^{2} \cdot (2 a b)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2}$ .

$\sqrt{2 (a^{2} a) b^{3}} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $b^{2}$ .

$\sqrt{2 (a^{2} a) (b^{2} b)} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.3

Déplacez $a$ .

$\sqrt{2 (a^{2}) b^{2} a b} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.4

Déplacez $2$ .

$\sqrt{(a^{2}) b^{2} \cdot 2 a b} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez $(a^{2}) b^{2}$ comme ${(a b)}^{2}$ .

$\sqrt{{(a b)}^{2} \cdot 2 a b} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.6

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{{(a b)}^{2} \cdot 2 (a b)} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 1.7

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{{(a b)}^{2} \cdot (2 a b)} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$a b \sqrt{2 a b} \cdot \sqrt[3]{4 a b^{2}}$

Étape 3

Multipliez $a b \sqrt{2 a b} \sqrt[3]{4 a b^{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 a b^{2}}$ comme ${(4 a b^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$a b ({(4 a b^{2})}^{\frac{1}{3}} \sqrt{2 a b})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${(4 a b^{2})}^{\frac{1}{3}}$ comme ${(4 a b^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$a b ({(4 a b^{2})}^{\frac{2}{6}} \sqrt{2 a b})$

Étape 3.1.3

Réécrivez ${(4 a b^{2})}^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2}} \sqrt{2 a b})$

Étape 3.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a b}$ comme ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2}} {(2 a b)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.1.5

Réécrivez ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ comme ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2}} {(2 a b)}^{\frac{3}{6}})$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2}} \sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}})$

Étape 3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a b \sqrt[6]{{(4 a b^{2})}^{2} {(2 a b)}^{3}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $4 a b^{2}$ .

$a b \sqrt[6]{{(4 a)}^{2} {(b^{2})}^{2} {(2 a b)}^{3}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $2 a b$ .

$a b \sqrt[6]{{(4 a)}^{2} {(b^{2})}^{2} {(2 a)}^{3} b^{3}}$

Étape 3.5

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$a b \sqrt[6]{4^{2} a^{2} {(b^{2})}^{2} {(2 a)}^{3} b^{3}}$

Étape 3.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a b \sqrt[6]{16 a^{2} {(b^{2})}^{2} {(2 a)}^{3} b^{3}}$

Étape 3.7

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a b \sqrt[6]{16 a^{2} b^{2 \cdot 2} {(2 a)}^{3} b^{3}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a b \sqrt[6]{16 a^{2} b^{4} {(2 a)}^{3} b^{3}}$

Étape 3.8

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$a b \sqrt[6]{16 a^{2} b^{4} (2^{3} a^{3}) b^{3}}$

Étape 3.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$a b \sqrt[6]{16 a^{2} b^{4} \cdot 8 a^{3} b^{3}}$

Étape 3.10

Associez les exposants.

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Étape 3.10.1

Multipliez $8$ par $16$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{2} b^{4} a^{3} b^{3}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $a^{2}$ par $a^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.2.1

Déplacez $a^{3}$ .

$a b \sqrt[6]{128 (a^{3} a^{2}) b^{4} b^{3}}$

Étape 3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a b \sqrt[6]{128 a^{3 + 2} b^{4} b^{3}}$

Étape 3.10.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} b^{4} b^{3}}$

Étape 3.10.3

Multipliez $b^{4}$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1

Déplacez $b^{3}$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} (b^{3} b^{4})}$

Étape 3.10.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} b^{3 + 4}}$

Étape 3.10.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} b^{7}}$

Étape 4

Réécrivez $128 a^{5} b^{7}$ comme ${(2 b)}^{6} \cdot (2 a^{5} b)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$a b \sqrt[6]{64 (2) a^{5} b^{7}}$

Étape 4.2

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 a^{5} b^{7}}$

Étape 4.3

Factorisez $b^{6}$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 a^{5} (b^{6} b)}$

Étape 4.4

Déplacez $a^{5}$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 b^{6} a^{5} b}$

Étape 4.5

Déplacez $2$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} b^{6} \cdot 2 a^{5} b}$

Étape 4.6

Réécrivez $2^{6} b^{6}$ comme ${(2 b)}^{6}$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 b)}^{6} \cdot 2 a^{5} b}$

Étape 4.7

Ajoutez des parenthèses.

$a b \sqrt[6]{{(2 b)}^{6} \cdot 2 (a^{5} b)}$

Étape 4.8

Ajoutez des parenthèses.

$a b \sqrt[6]{{(2 b)}^{6} \cdot (2 a^{5} b)}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

$a b (2 b \sqrt[6]{2 a^{5} b})$

Étape 6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 a b (b \sqrt[6]{2 a^{5} b})$

Étape 7

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $b$ .

$2 a (b \cdot b) \sqrt[6]{2 a^{5} b}$

Étape 7.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$2 a b^{2} \sqrt[6]{2 a^{5} b}$