Algèbre Exemples

$3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$1 + 2 \sqrt{x} = 3 x$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x} = 3 x - 1$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez

$4 x = {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 1)}^{2}$ comme $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$4 x = (3 x - 1) (3 x - 1)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(3 x - 1) (3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = 3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$4 x = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} - 6 x + 1 = 4 x$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 6 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Étape 5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1$ plus $- 9$

$9 x^{2} + (- 1 - 9) x + 1 = 0$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} - 1 x - 9 x + 1 = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 x^{2} - 1 x) - 9 x + 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (9 x - 1) - (9 x - 1) = 0$

Étape 5.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.5

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $9 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Étape 5.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 x - 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{9}, 1$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$ vrai.

$x = 1$