Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{{\sqrt{a}}^{2} - \sqrt{a b} + \sqrt{a b} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{a}}^{2}$ comme $a$ .

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{a^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{1} - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez

$\frac{a - {\sqrt{b}}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a - {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a - b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{a - b^{\frac{2}{2}}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - b^{\frac{2}{2}}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - b^{1}}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez

$\frac{a - b}{(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 3

Développez $(a^{2} - b^{2}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - b}{a^{2} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - b^{2} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - b}{a^{2} \sqrt{a} + a^{2} (- \sqrt{b}) - b^{2} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - b}{a^{2} \sqrt{a} + a^{2} (- \sqrt{b}) - b^{2} \sqrt{a} - b^{2} (- \sqrt{b})}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a - b}{a^{2} \sqrt{a} - a^{2} \sqrt{b} - b^{2} \sqrt{a} - b^{2} (- \sqrt{b})}$

Étape 4.2

Multipliez $- b^{2} (- \sqrt{b})$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a - b}{a^{2} \sqrt{a} - a^{2} \sqrt{b} - b^{2} \sqrt{a} + 1 b^{2} \sqrt{b}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{a - b}{a^{2} \sqrt{a} - a^{2} \sqrt{b} - b^{2} \sqrt{a} + b^{2} \sqrt{b}}$