Algèbre Exemples

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{2} - 2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Étape 1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 2$ .

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.6

Associez les exposants.

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Étape 1.6.1

Élevez $x^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 1.6.2

Élevez $x^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

Étape 1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 3

Définissez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 3.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 3.2.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 3.2.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 3.2.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$