Algèbre Exemples

$\log_{3} (3 x + 3) - \log_{3} (x - 1) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{3 x + 3}{x - 1}) = 2$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3}{x - 1}) = 2$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3 (1)}{x - 1}) = 2$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{3 (x + 1)}{x - 1}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$3 (x + 1) = 3^{2} (x - 1)$

Étape 4

Simplifiez $3^{2} (x - 1)$ .

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 (x + 1) = 9 (x - 1)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x + 1) = 9 x + 9 \cdot - 1$

Étape 4.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$3 (x + 1) = 9 x - 9$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 (x + 1) - 9 x = - 9$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 3 \cdot 1 - 9 x = - 9$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x + 3 - 9 x = - 9$

Étape 5.3

Soustrayez $9 x$ de $3 x$ .

$- 6 x + 3 = - 9$

Étape 6

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x + 3$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$3 (- 2 x) + 3 = - 9$

Étape 6.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (- 2 x) + 3 (1) = - 9$

Étape 6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 2 x + 1) = - 9$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 (- 2 x + 1) = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 (- 2 x + 1) = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $- 2 x + 1$ par $1$ .

$- 2 x + 1 = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$- 2 x + 1 = - 3$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 3 - 1$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$- 2 x = - 4$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 4$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 4$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Divisez $- 4$ par $- 2$ .

$x = 2$