Algèbre Exemples

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + i}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + i}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.2

Développez $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2 i \sqrt{2} (- i)$ .

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Étape 3.2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.3.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.2.4

Remettez dans l’ordre $2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 3.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - - 1}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 4.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}}{1}$

Étape 4.8.4

Divisez $\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$