Algèbre Exemples

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + mg h$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot (m v^{2}) + mg h = E$ .

$\frac{1}{2} \cdot (m v^{2}) + mg h = E$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{2} (m v^{2})$ .

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Étape 2.1

Associez $m$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{m}{2} v^{2} + mg h = E$

Étape 2.2

Associez $\frac{m}{2}$ et $v^{2}$ .

$\frac{m v^{2}}{2} + mg h = E$

Étape 3

Soustrayez $mg h$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{m v^{2}}{2} = E - mg h$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{m v^{2}}{2} = 2 (E - mg h)$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{m v^{2}}{2} = 2 (E - mg h)$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$m v^{2} = 2 (E - mg h)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 (E - mg h)$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m v^{2} = 2 E + 2 (- mg h)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$m v^{2} = 2 E - 2 mg h$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $m v^{2} = 2 E - 2 mg h$ par $m$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $m v^{2} = 2 E - 2 mg h$ par $m$ .

$\frac{m v^{2}}{m} = \frac{2 E}{m} + \frac{- 2 mg h}{m}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $m$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m v^{2}}{m} = \frac{2 E}{m} + \frac{- 2 mg h}{m}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$v^{2} = \frac{2 E}{m} + \frac{- 2 mg h}{m}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$v^{2} = \frac{2 E}{m} - \frac{2 mg h}{m}$

Étape 7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{\frac{2 E}{m} - \frac{2 mg h}{m}}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 E}{m} - \frac{2 mg h}{m}}$ .

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \pm \sqrt{\frac{2 E - 2 mg h}{m}}$

Étape 8.2

Factorisez $2$ à partir de $2 E - 2 mg h$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 E$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{2 (E) - 2 mg h}{m}}$

Étape 8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 mg h$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{2 (E) + 2 (- mg h)}{m}}$

Étape 8.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (E) + 2 (- mg h)$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{2 (E - mg h)}{m}}$

Étape 8.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (E - mg h)}{m}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (E - mg h)}}{\sqrt{m}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)}}{\sqrt{m}}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (E - mg h)}}{\sqrt{m}}$ par $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)}}{\sqrt{m}} \cdot \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}}$

Étape 8.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (E - mg h)}}{\sqrt{m}}$ par $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{\sqrt{m} \sqrt{m}}$

Étape 8.5.2

Élevez $\sqrt{m}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{{\sqrt{m}}^{1} \sqrt{m}}$

Étape 8.5.3

Élevez $\sqrt{m}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{{\sqrt{m}}^{1} {\sqrt{m}}^{1}}$

Étape 8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{{\sqrt{m}}^{1 + 1}}$

Étape 8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{{\sqrt{m}}^{2}}$

Étape 8.5.6

Réécrivez ${\sqrt{m}}^{2}$ comme $m$ .

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Étape 8.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{m}$ comme $m^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{{(m^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{m^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{m^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{m^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{m^{1}}$

Étape 8.5.6.5

Simplifiez

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h)} \sqrt{m}}{m}$

Étape 8.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$v = \pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h) m}}{m}$

Étape 8.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{2 (E - mg h) m}}{m}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$v = \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$v = - \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$v = \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}, - \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}$

Étape 10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $v = \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}, - \frac{\sqrt{2 m (E - mg h)}}{m}$ .

$v = \frac{\sqrt{2 m (E - h mg)}}{m}, - \frac{\sqrt{2 m (E - h mg)}}{m}$