Algèbre Exemples

$y = 2 \sqrt[3]{x - 5}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 \sqrt[3]{y - 5}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ .

$2 \sqrt[3]{y - 5} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt[3]{y - 5}$ par $1$ .

$\sqrt[3]{y - 5} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y - 5}}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 5}$ comme ${(y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 5)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y - 5 = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{2^{3}}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{8}$

Étape 2.5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 5})}^{3}}{8} + 5$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ comme $x - 5$ .

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Étape 4.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Étape 4.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez $x - 5$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{8} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 5) - 5}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Étape 4.3.4

Additionnez $\frac{x^{3}}{8}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$