Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 8}{x - 4} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x + 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 8$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{8}{3}$

$x = 4$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{8}{3}, 4$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 4 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < 4$

$x > 4$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 5) + 8}{(- 5) - 4} \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $0.\overline{7}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0) + 8}{(0) - 4} \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (6) + 8}{(6) - 4} \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $13$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{8}{3}$ Vrai

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - \frac{8}{3}$ Vrai

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{8}{3}$ ou $x > 4$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{8}{3} or x > 4$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{8}{3}] \cup (4, \infty)$

Étape 12