Algèbre Exemples

$\frac{4}{3} (\sin (255) + \sin (15))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (255)$ est $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{4}{3} (- \sin (75) + \sin (15))$

Étape 1.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{4}{3} (- \sin (30 + 45) + \sin (15))$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{4}{3} (- (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) + \sin (15))$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) + \sin (15))$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) + \sin (15))$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) + \sin (15))$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8

Simplifiez $- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) + \sin (15))$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (15))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - 30))$

Étape 1.2.2

Séparez la négation.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - (30)))$

Étape 1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Étape 1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- 2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 2.4

Additionnez $- \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- 2 \sqrt{2} + 0}{4}$

Étape 2.5

Additionnez $- 2 \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{2})$

Étape 2.7

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \sqrt{2}$

Étape 2.8

Associez $\frac{- 2}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Forme décimale :

$- 0.94280904 \dots$