Algèbre Exemples

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Étape 2

Définissez $\cot (θ) - \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 2.1

Définissez $\cot (θ) - \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ pour $θ$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Étape 2.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 2.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + \frac{π}{6}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 2.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 2.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 2.2.5.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\cot (θ)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\cot (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 3.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 3.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.8.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 3.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$