Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4 x - 45}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 36}{36 - x^{2}} \div \frac{x - 9}{6 x}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 4 x - 45}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 36}{36 - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 9, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 36}{36 - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 6, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{36 - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{36 - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{36 - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{6^{2} - x^{2}} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(6 + x) (6 - x)} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 6) (x + 6)}{(6 + x) (6 - x)} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 6) (x + 6)}{(6 + x) (6 - x)} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 9) (x + 5)}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{(6 + x) (6 - x)} \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{(x - 9) (x + 5)}{x + 5}$ par $\frac{x + 6}{(6 + x) (6 - x)}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 5) (x + 6)}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))} \cdot \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $x - 9$ à partir de $(x - 9) (x + 5) (x + 6)$ .

$\frac{(x - 9) ((x + 5) (x + 6))}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))} \cdot \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) ((x + 5) (x + 6))}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))} \cdot \frac{6 x}{x - 9}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 5) (x + 6)}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))} (6 x)$

Étape 6.4

Associez $6$ et $\frac{(x + 5) (x + 6)}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))}$ .

$\frac{6 ((x + 5) (x + 6))}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))} x$

Étape 6.5

Associez $\frac{6 ((x + 5) (x + 6))}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))}$ et $x$ .

$\frac{6 ((x + 5) (x + 6)) x}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 ((x + 5) (x + 6)) x}{(x + 5) ((6 + x) (6 - x))}$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x + 6) x}{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $x + 6$ et $6 + x$ .

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Étape 6.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 (x + 6) x}{(x + 6) (6 - x)}$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x + 6) x}{(x + 6) (6 - x)}$

Étape 6.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x}{6 - x}$