Algèbre Exemples

$\log_{3} (x) + \log_{3} (6) \geq 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{3} (x) + \log_{3} (6) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x \cdot 6) = 2$

Étape 2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\log_{3} (6 x) = 2$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{3} (6 x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{2} = 6 x$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $6 x = 3^{2}$ .

$6 x = 3^{2}$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 3^{2}$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 3^{2}$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3^{2}}{6}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3^{2}}{6}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3^{2}}{6}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{9}{6}$

Étape 2.3.2.3.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 2.3.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = \frac{3 (3)}{6}$

Étape 2.3.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{3} (6 x) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{3} (6 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 x > 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $6 x > 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x > 0$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} > \frac{0}{6}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} > \frac{0}{6}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{0}{6}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x > 0$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq \frac{3}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \geq \frac{3}{2}$

Notation d’intervalle :

$[\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 6