Algèbre Exemples

$- 3 = - 2 y^{3} - 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- 2 y^{3} - 5 = - 3$ .

$- 2 y^{3} - 5 = - 3$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y^{3} = - 3 + 5$

Étape 2.2

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$- 2 y^{3} = 2$

Étape 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y^{3} - 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y^{3}$ .

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 y^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (y^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (y^{3} + 1) = 0$

Étape 4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$- 2 (y^{3} + 1^{3}) = 0$

Étape 4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 4.4

Factorisez.

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Étape 4.4.1

Simplifiez

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1^{2})) = 0$

Étape 4.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 0$

Étape 4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$y^{2} - y + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 7

Définissez $y^{2} - y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $y^{2} - y + 1$ égal à $0$ .

$y^{2} - y + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $y^{2} - y + 1 = 0$ pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$ vraie.

$y = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$