Algèbre Exemples

$\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour écrire $\frac{5}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{5}{5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 5$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{x \cdot 5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \cdot 5 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.4.2

Additionnez $25$ et $6$ .

$\frac{31}{5 x} > \frac{2}{3}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $5 x$ .

$\frac{31}{5 x} (5 x) = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{31}{5 x} (5 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$5 \frac{31}{5 (x)} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$31 = \frac{2}{3} (5 x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{2}{3} (5 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Associez $5$ et $\frac{2}{3}$ .

$31 = \frac{5 \cdot 2}{3} x$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$31 = \frac{10}{3} x$

Étape 3.2.1.3

Associez $\frac{10}{3}$ et $x$ .

$31 = \frac{10 x}{3}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{10 x}{3} = 31$ .

$\frac{10 x}{3} = 31$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{10}$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Simplifiez $\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{1}{10} (10 (x)) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{10} \cdot 31$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{10} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Associez $\frac{3}{10}$ et $31$ .

$x = \frac{3 \cdot 31}{10}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $31$ .

$x = \frac{93}{10}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{31}{5 x} - \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{31}{5 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 x = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 0$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 0$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{93}{10}$

$x > \frac{93}{10}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{- 2} + \frac{6}{5 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 3.1$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{93}{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{93}{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{5} + \frac{6}{5 (5)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $1.24$ est supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{93}{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{93}{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{12} + \frac{6}{5 (12)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $0.51\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{93}{10}$ Vrai

$x > \frac{93}{10}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{93}{10}$ Vrai

$x > \frac{93}{10}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{93}{10}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < \frac{93}{10}$

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{93}{10})$

Étape 10