Algèbre Exemples

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) - \log_{3} (125) = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5}{125}) = 0$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5$ et $125$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 (1)}{125}) = 0$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25})$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{2}) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{2} \frac{1}{25}) = 0$

Étape 4.1.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{25}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$

Étape 5

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{x^{2}}{25}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$ .

$\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25$ .

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 25 \cdot 3^{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $25 \cdot 3^{0}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 25 \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$x^{2} = 25$

Étape 6.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$ vrai.

$x = 5$