Algèbre Exemples

${(\frac{4 x^{3} y^{4}}{3 m^{2} n^{3}})}^{4} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x^{3} y^{4}}{3 m^{2} n^{3}}$ .

$\frac{{(4 x^{3} y^{4})}^{4}}{{(3 m^{2} n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $4 x^{3} y^{4}$ .

$\frac{{(4 x^{3})}^{4} {(y^{4})}^{4}}{{(3 m^{2} n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $4 x^{3}$ .

$\frac{4^{4} {(x^{3})}^{4} {(y^{4})}^{4}}{{(3 m^{2} n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $3 m^{2} n^{3}$ .

$\frac{4^{4} {(x^{3})}^{4} {(y^{4})}^{4}}{{(3 m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 1.5

Appliquez la règle de produit à $3 m^{2}$ .

$\frac{4^{4} {(x^{3})}^{4} {(y^{4})}^{4}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{256 {(x^{3})}^{4} {(y^{4})}^{4}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{256 x^{3 \cdot 4} {(y^{4})}^{4}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{256 x^{12} {(y^{4})}^{4}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{4 \cdot 4}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{3^{4} {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 {(m^{2})}^{4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(m^{2})}^{4}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{2 \cdot 4} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} {(n^{3})}^{4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(n^{3})}^{4}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{3 \cdot 4}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} {(\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}})}^{2}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9 m^{5} n}{2 x^{2} y^{5}}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} \cdot \frac{{(9 m^{5} n)}^{2}}{{(2 x^{2} y^{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $9 m^{5} n$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} \cdot \frac{{(9 m^{5})}^{2} n^{2}}{{(2 x^{2} y^{5})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $9 m^{5}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} \cdot \frac{9^{2} {(m^{5})}^{2} n^{2}}{{(2 x^{2} y^{5})}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $2 x^{2} y^{5}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} \cdot \frac{9^{2} {(m^{5})}^{2} n^{2}}{{(2 x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $2 x^{2}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16}}{81 m^{8} n^{12}} \cdot \frac{9^{2} {(m^{5})}^{2} n^{2}}{2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2} n^{2})}{81 m^{8} n^{12} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $n^{2}$ et $n^{12}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2} n^{2})$ .

$\frac{n^{2} (256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2}))}{81 m^{8} n^{12} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2})}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $81 m^{8} n^{12} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2})$ .

$\frac{n^{2} (256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2}))}{n^{2} (81 m^{8} n^{10} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{n^{2} (256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2}))}{n^{2} (81 m^{8} n^{10} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{256 x^{12} y^{16} (9^{2} {(m^{5})}^{2})}{81 m^{8} n^{10} (2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16} \cdot 81 {(m^{5})}^{2}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(m^{5})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16} \cdot 81 m^{5 \cdot 2}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{256 x^{12} y^{16} \cdot 81 m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $81$ par $256$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 4 {(x^{2})}^{2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 4 x^{2 \cdot 2} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 4 x^{4} {(y^{5})}^{2}}$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{5})}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 4 x^{4} y^{5 \cdot 2}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{81 m^{8} n^{10} \cdot 4 x^{4} y^{10}}$

Étape 7.4

Multipliez $4$ par $81$ .

$\frac{20736 x^{12} y^{16} m^{10}}{324 m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $20736$ et $324$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $324$ à partir de $20736 x^{12} y^{16} m^{10}$ .

$\frac{324 (64 x^{12} y^{16} m^{10})}{324 m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}}$

Étape 8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $324$ à partir de $324 m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}$ .

$\frac{324 (64 x^{12} y^{16} m^{10})}{324 (m^{8} n^{10} x^{4} y^{10})}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{324 (64 x^{12} y^{16} m^{10})}{324 (m^{8} n^{10} x^{4} y^{10})}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 x^{12} y^{16} m^{10}}{m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $x^{12}$ et $x^{4}$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $64 x^{12} y^{16} m^{10}$ .

$\frac{x^{4} (64 x^{8} y^{16} m^{10})}{m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}}$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $m^{8} n^{10} x^{4} y^{10}$ .

$\frac{x^{4} (64 x^{8} y^{16} m^{10})}{x^{4} (m^{8} n^{10} y^{10})}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (64 x^{8} y^{16} m^{10})}{x^{4} (m^{8} n^{10} y^{10})}$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 x^{8} y^{16} m^{10}}{m^{8} n^{10} y^{10}}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $y^{16}$ et $y^{10}$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $y^{10}$ à partir de $64 x^{8} y^{16} m^{10}$ .

$\frac{y^{10} (64 x^{8} y^{6} m^{10})}{m^{8} n^{10} y^{10}}$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $y^{10}$ à partir de $m^{8} n^{10} y^{10}$ .

$\frac{y^{10} (64 x^{8} y^{6} m^{10})}{y^{10} (m^{8} n^{10})}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{10} (64 x^{8} y^{6} m^{10})}{y^{10} (m^{8} n^{10})}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 x^{8} y^{6} m^{10}}{m^{8} n^{10}}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $m^{10}$ et $m^{8}$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $m^{8}$ à partir de $64 x^{8} y^{6} m^{10}$ .

$\frac{m^{8} (64 x^{8} y^{6} m^{2})}{m^{8} n^{10}}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $m^{8}$ à partir de $m^{8} n^{10}$ .

$\frac{m^{8} (64 x^{8} y^{6} m^{2})}{m^{8} (n^{10})}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{m^{8} (64 x^{8} y^{6} m^{2})}{m^{8} n^{10}}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 x^{8} y^{6} m^{2}}{n^{10}}$