Algèbre Exemples

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

Étape 1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

Étape 1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\ln (6 x^{2}) = 3$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (6 x^{2}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 6 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $6 x^{2} = e^{3}$ .

$6 x^{2} = e^{3}$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = e^{3}$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = e^{3}$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $e^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

Étape 4.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 4.4.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 4.4.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 4.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 4.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 4.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

Étape 4.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ vrai.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Forme décimale :

$x = 1.82964190 \dots$