Algèbre Exemples

$x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Complétez le carré pour $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.1.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.1.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Remplacez $x^{2} - 2 x$ par ${(x - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} + 2 y = 1$

Étape 1.3

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} + 2 y = 1 + 1$

Étape 1.4

Complétez le carré pour $- y^{2} + 2 y$ .

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Étape 1.4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Étape 1.4.4.2.1.3

Divisez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Étape 1.4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Étape 1.4.4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e = 1$

Étape 1.4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Étape 1.5

Remplacez $- y^{2} + 2 y$ par $- {(y - 1)}^{2} + 1$ dans l’équation $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} + 1 = 1 + 1$

Étape 1.6

Déplacez $1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1 + 1 - 1$

Étape 1.7

Simplifiez $1 + 1 - 1$ .

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Étape 1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 2 - 1$

Étape 1.7.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(2, 1), (0, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 + \sqrt{2}, 1)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 - \sqrt{2}, 1)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 8.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Étape 11.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $x - (1)$ par $1$ .

$y = x - (1) + 1$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = x - 1 + 1$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = x + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Étape 12.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 \cdot (x - 1) + 1$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 1 + 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - x + 1 + 1$

Étape 12.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - x + 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x + 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(1, 1)$

Sommets : $(2, 1), (0, 1)$

Foyers : $(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptotes : $y = x$ , $y = - x + 2$

Étape 15