Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 80}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{x^{2} + 2 x - 8}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 80}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 12 x - 80$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x - 80}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 80}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 40}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 40}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 40$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x - 40)}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 6 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 10, 4$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 ((x - 10) (x + 4))}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{2^{2} - x^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $2 + x$ et $x + 2$ .

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Étape 5.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (2 - x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (2 - x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{2 - x}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et $x - 2$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- 1 (- 2) - x}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- 1 (- 2) - (x)}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- 1 (- 2 + x)}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- 1 (x - 2)}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- 1 (x - 2)}{x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 5.2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot - 1 \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 6

Multipliez $\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.1

Associez $\frac{2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2}$ et $- 1$ .

$\frac{2 (x - 10) (x + 4) \cdot - 1}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (x - 10) (x + 4)}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 2 (x - 10) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (- 2 (x - 10))}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 7.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (- 2 (x - 10))}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (- 2 (x - 10))}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 (x - 10)}{- x - 2} \cdot \frac{- x - 2}{x - 2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{- 2 (x - 10)}{- x - 2}$ par $\frac{- x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{- 2 (x - 10) (- x - 2)}{(- x - 2) (x - 2)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $- x - 2$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (x - 10) (- x - 2)}{(- x - 2) (x - 2)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 (x - 10)}{x - 2}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 10)}{x - 2}$