Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ comme une équation.

$y = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Étape 3.3.1.2

Divisez la fraction $\frac{y^{7} - 2}{3}$ en deux fractions.

${(\frac{y^{7}}{3} + \frac{- 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Étape 3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3})}^{1} = x^{5}$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez

$\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3} = x^{5}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $\frac{2}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{7}}{3} = x^{5} + \frac{2}{3}$

Étape 3.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Étape 3.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Étape 3.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{7} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.2.1

Simplifiez $3 (x^{5} + \frac{2}{3})$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Étape 3.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Étape 3.4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{7} = 3 x^{5} + 2$

Étape 3.4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} - 2 + 2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x^{7}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ comme ${(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{(3 x^{5} + 2) - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 2 - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 0}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $3 x^{5}$ et $0$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.4.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$