Algèbre Exemples

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$

Étape 1

Ajoutez $\frac{1}{b}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, a - b, b$

Étape 2.2

Comme $a, a - b, b$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $a, a - b, b$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $a^{1}, b^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $a - b$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $a^{1}$ est $a$ lui-même.

$a^{1} = a$

$a$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $b^{1}$ est $b$ lui-même.

$b^{1} = b$

$b$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $a^{1}, b^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a \cdot b$

Étape 2.9

Multipliez $a$ par $b$ .

$a b$

Étape 2.10

Le facteur pour $a - b$ est $a - b$ lui-même.

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $a - b$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a - b$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$a b (a - b)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ par $a b (a - b)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ par $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a b (a - b)) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $a$ à partir de $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$b (a - b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$b a + b (- b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$b a - b \cdot b = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.1

Déplacez $b$ .

$b a - (b \cdot b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $a - b$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $a - b$ à partir de $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $b$ à partir de $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$b a - b^{2} = a b + a (a - b)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$b a - b^{2} = a b + a \cdot a + a (- b)$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $a$ par $a$ .

$b a - b^{2} = a b + a^{2} + a (- b)$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$b a - b^{2} = a b + a^{2} - a b$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $a b + a^{2} - a b$ .

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $a b$ de $a b$ .

$b a - b^{2} = a^{2} + 0$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$b a - b^{2} = a^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $a^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$b a - b^{2} - a^{2} = 0$

Étape 4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = b$ et $c = - b^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

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Étape 4.5.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.5

Factorisez $b$ à partir de $b + b i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.5.5.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.5.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.5.3

Factorisez $b$ à partir de $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5.5.4

Factorisez $b$ à partir de $b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

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Étape 4.6.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 4.6.3

Simplifiez $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.5.1

Factorisez $b$ à partir de $b - b i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.6.5.1.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.5.1.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.5.1.3

Factorisez $b$ à partir de $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.6.5.1.4

Factorisez $b$ à partir de $b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.6.5.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$