Algèbre Exemples

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ comme une équation.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ .

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ par $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $11^{3 y}$ par $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Étape 3.5

Développez $\ln (11^{3 y})$ en déplaçant $3 y$ hors du logarithme.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ par $3 \ln (11)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ par $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (11)$ .

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 3.6.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ est l’inverse de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Soustrayez $13$ de $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $12 \cdot 11^{3 x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $11^{3 x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $3 \ln (11)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Étape 5.2.5

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez $3 \ln (11)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Étape 5.3.3.3

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Étape 5.3.3.4.2

Simplifiez $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 13}{12}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Étape 5.3.3.5.2

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ est l’inverse de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$