Algèbre Exemples

$\frac{49 - y^{2}}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{7^{2} - y^{2}}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = y$ .

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 2

Factorisez $6 y$ à partir de $6 y^{2} + 42 y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $6 y$ à partir de $6 y^{2}$ .

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y) + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 2.2

Factorisez $6 y$ à partir de $42 y$ .

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y) + 6 y (7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 2.3

Factorisez $6 y$ à partir de $6 y (y) + 6 y (7)$ .

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y + 7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Étape 3

Factorisez $y^{2} - 10 y + 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $21$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 7, - 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y + 7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (48 y^{3})}{6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $48$ et $6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $(7 + y) (7 - y) (48 y^{3})$ .

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))$ .

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 ((y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3)))}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 ((y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3)))}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (8 y^{3})}{(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $(7 + y) (7 - y) (8 y^{3})$ .

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))$ .

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{y ((y + 7) ((y - 7) (y - 3)))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{y ((y + 7) ((y - 7) (y - 3)))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $7 + y$ et $y + 7$ .

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Étape 4.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(y + 7) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 7) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 - y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $7 - y$ et $y - 7$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- 1 (- 7) - y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- 7) - (y)) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 7) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- 7 + y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (y - 7) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y - 7) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Étape 4.5.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (8 y^{2})}{y - 3}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 8 y^{2}}{y - 3}$

Étape 4.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 y^{2}}{y - 3}$