Algèbre Exemples

$x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 15 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = x^{2} + 6 x - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Additionnez $4$ et $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $2$ plus $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 8)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Additionnez $4$ et $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $2$ plus $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 8)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Additionnez $4$ et $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

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Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $2$ plus $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 8)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- x + 2) (x + 8) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 8.2

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 8.2.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 8.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 8.3

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 8.3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x + 2) (x + 8) \geq 0$ vraie.

$x = 2, - 8$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 2$

$x > 2$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 10) + 2) ((- 10) + 8) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (0) + 2) ((0) + 8) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (4) + 2) ((4) + 8) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 \leq x \leq 2$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 8, 2]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 8 \leq x \leq 2}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 6]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 4 \leq y \leq 6}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 8, 2], {x | - 8 \leq x \leq 2}$

Plage : $[- 4, 6], {y | - 4 \leq y \leq 6}$

Étape 12