Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Étape 1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{2}{x^{2} + x}$ par $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - (\frac{2}{x^{2} + x} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}) - \frac{3}{x + 3}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{2}{x^{2} + x}$ par $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3}{x + 3}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{3}{x + 3}$ par $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - (\frac{3}{x + 3} \cdot \frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)})$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{3}{x + 3}$ par $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Étape 1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x^{2} + x) (x + 3))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Étape 1.8

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + x) (x (x + 3))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Étape 1.9

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x (x^{2} + x))$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Développez $(x^{2} + x) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x + 3) + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x \cdot x + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + 3 \cdot x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x \cdot x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.9

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1} x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1 + 2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.10

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x^{2})}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.2.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{3} - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 6 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.4

Soustrayez $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.5

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 x^{2}) + x (- x)$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 2.3.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x)}$

Étape 3.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x^{1})}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x \cdot 1)}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x (x + 1))}$

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) x (x + 1)}$

Étape 3.2

Associez les exposants.

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 3.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x^{1} (x + 3) (x + 1)}$

Étape 3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1 + 1} (x + 3) (x + 1)}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{2} (x + 3) (x + 1)}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{2} - x - 3}{(x (x + 3)) (x + 1)}$

Étape 5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - x - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 1 (3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Réécrivez $- (2 x^{2} + x + 3)$ comme $- 1 (2 x^{2} + x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2} + x + 3}{x (x + 3) (x + 1)}$