Algèbre Exemples

$\frac{4 i}{\sqrt{2} + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 i}{1.41421356 + 1 i}$ par le conjugué de $1.41421356 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4 i}{1.41421356 + 1 i} \cdot \frac{1.41421356 - i}{1.41421356 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{4 i (1.41421356 - i)}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i \cdot 1.41421356 + 4 i (- i)}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $1.41421356$ par $4$ .

$\frac{5.65685424 i + 4 i (- i)}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $4 i (- i)$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{5.65685424 i - 4 i i}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5.65685424 i - 4 (i^{1} i)}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5.65685424 i - 4 (i^{1} i^{1})}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5.65685424 i - 4 i^{1 + 1}}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5.65685424 i - 4 i^{2}}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5.65685424 i - 4 \cdot - 1}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{5.65685424 i + 4}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $5.65685424 i$ et $4$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1.41421356 + 1 i) (1.41421356 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 + 5.65685424 i}{1.41421356 (1.41421356 - i) + 1 i (1.41421356 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 + 5.65685424 i}{1.41421356 \cdot 1.41421356 + 1.41421356 (- i) + 1 i (1.41421356 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 + 5.65685424 i}{1.41421356 \cdot 1.41421356 + 1.41421356 (- i) + 1 i \cdot 1.41421356 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1.41421356$ par $1.41421356$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 1.41421356 (- i) + 1 i \cdot 1.41421356 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1.41421356$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1 i \cdot 1.41421356 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $1.41421356$ par $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 - 1.41421356 i + 1.41421356 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 1.41421356 i$ et $1.41421356 i$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 0 i - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 0 - - 1}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 0 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{2 + 1}$

Étape 2.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 + 5.65685424 i}{3}$

Étape 3

Réécrivez $4$ comme $1 (4)$ .

$\frac{1 (4) + 5.65685424 i}{3}$

Étape 4

Factorisez $1$ à partir de $5.65685424 i$ .

$\frac{1 (4) + 1 (5.65685424 i)}{3}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $1 (4) + 1 (5.65685424 i)$ .

$\frac{1 (4 + 5.65685424 i)}{3}$

Étape 6

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1 (4 + 5.65685424 i)}{3 (1)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 + 5.65685424 i}{1}$

Étape 8

Divisez $1$ par $3$ .

$0.33333333 \frac{4 + 5.65685424 i}{1}$

Étape 9

Divisez $4 + 5.65685424 i$ par $1$ .

$0.33333333 (4 + 5.65685424 i)$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$0.33333333 \cdot 4 + 0.33333333 (5.65685424 i)$

Étape 11

Multipliez $0.33333333$ par $4$ .

$1.33333333 + 0.33333333 (5.65685424 i)$

Étape 12

Multipliez $5.65685424$ par $0.33333333$ .

$1.33333333 + 1.88561808 i$