Algèbre Exemples

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$(- \infty, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $(- \infty, \infty)$ en une inégalité.

$- \infty < y < \infty$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Étape 2.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- \frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.1.1

Simplifiez ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.1.1.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.1.1.2

Simplifiez

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.2.4.2.3.2

Associez.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Étape 2.2.4.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.2.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Étape 2.2.4.2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.4.4

Divisez chaque terme dans $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 2.2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.2.4.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

Étape 4