Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2}} - 5 x = 6$

Étape 1

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x^{2}} = 6 + 5 x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{2}}$ .

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Étape 3.2

Divisez $2$ par $2$ .

${(x^{1})}^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} = {(6 + 5 x)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Simplifiez ${(6 + 5 x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Réécrivez ${(6 + 5 x)}^{2}$ comme $(6 + 5 x) (6 + 5 x)$ .

$x^{2} = (6 + 5 x) (6 + 5 x)$

Étape 3.4.1.2

Développez $(6 + 5 x) (6 + 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 6 (6 + 5 x) + 5 x (6 + 5 x)$

Étape 3.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 6 \cdot 6 + 6 (5 x) + 5 x (6 + 5 x)$

Étape 3.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 6 \cdot 6 + 6 (5 x) + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Étape 3.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$x^{2} = 36 + 6 (5 x) + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Étape 3.4.1.3.1.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 5 x \cdot 6 + 5 x (5 x)$

Étape 3.4.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $5$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 x (5 x)$

Étape 3.4.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 x \cdot x$

Étape 3.4.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 (x \cdot x)$

Étape 3.4.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 5 \cdot 5 x^{2}$

Étape 3.4.1.3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{2} = 36 + 30 x + 30 x + 25 x^{2}$

Étape 3.4.1.3.2

Additionnez $30 x$ et $30 x$ .

$x^{2} = 36 + 60 x + 25 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$36 + 60 x + 25 x^{2} = x^{2}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$36 + 60 x + 25 x^{2} - x^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $25 x^{2}$ .

$36 + 60 x + 24 x^{2} = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $12$ à partir de $36 + 60 x + 24 x^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$12 (3) + 60 x + 24 x^{2} = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $12$ à partir de $60 x$ .

$12 (3) + 12 (5 x) + 24 x^{2} = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2}$ .

$12 (3) + 12 (5 x) + 12 (2 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3) + 12 (5 x)$ .

$12 (3 + 5 x) + 12 (2 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 + 5 x) + 12 (2 x^{2})$ .

$12 (3 + 5 x + 2 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 (2 x^{2} + 5 x + 3) = 0$

Étape 4.3.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$12 (2 x^{2} + 5 (x) + 3) = 0$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez $5$ comme $2$ plus $3$

$12 (2 x^{2} + (2 + 3) x + 3) = 0$

Étape 4.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3) = 0$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3) = 0$

Étape 4.3.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (2 x (x + 1) + 3 (x + 1)) = 0$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$12 ((x + 1) (2 x + 3)) = 0$

Étape 4.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x + 1) (2 x + 3) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.6

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x + 1) (2 x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, - \frac{3}{2}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x^{2}} - 5 x = 6$ vrai.

$x = - 1$