Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 2}{x + 4} + \frac{x - 1}{x^{2} + x - 12}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x + 2}{x + 4} + \frac{x - 1}{(x - 3) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x + 2}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 x + 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 1}{(x - 3) (x + 4)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 x + 2}{x + 4}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(3 x + 2) (x - 3)}{(x + 4) (x - 3)} + \frac{x - 1}{(x - 3) (x + 4)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{(3 x + 2) (x - 3)}{(x + 4) (x - 3)} + \frac{x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x + 2) (x - 3) + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(3 x + 2) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (x - 3) + 2 (x - 3) + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 2 (x - 3) + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 2 x + 2 \cdot - 3 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 2 x - 6 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 9 x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 6 + x - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.3

Additionnez $- 7 x$ et $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 6 x - 6 - 1}{(x + 4) (x - 3)}$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\frac{3 x^{2} - 6 x - 7}{(x + 4) (x - 3)}$