Algèbre Exemples

${(1 - \tan (x))}^{2} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez ${(1 - \tan (x))}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ comme $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.3

Développez $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.2

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Étape 1.1.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.1.4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.4.2

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ de $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 2 \tan (x)$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan (x)$

Étape 2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan (x)$

Étape 2.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.5

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - (2 \sin (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10.1.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - (2 \sin (x))$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - 2 \sin (x)$

Étape 11

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Soustrayez $\frac{1}{\cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - 2 \sin (x)$

Étape 11.2

Ajoutez $2 \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x) = 0$

Étape 12

Simplifiez $\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x)$ .

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Étape 12.1

Associez les termes opposés dans $\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x)$ .

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Étape 12.1.1

Additionnez $- 2 \sin (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$\cos (x) + 0 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.1.2

Additionnez $\cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.3

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.7

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.9

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 12.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Étape 12.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.9.2.1

Multipliez par $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 12.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 12.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Étape 12.9.2.4

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 12.10

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Étape 13

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$