Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 7

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ .

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Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x$ .

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Étape 11.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 11.2.2

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.2.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 11.2.2.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.2.2.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 11.2.3

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.3.1

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 11.2.3.2

Résolvez $x^{2} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 11.2.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 11.2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 11.2.3.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.2.3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 11.2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 11.2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 11.2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 11.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vraie.

$x = 4, 2, - 2$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $- 0.0009375$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.5$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $- 2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $0.00525969$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $- 0.046875$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 13.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $1.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 13.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Étape 13.5.3

Le côté gauche $0.0703125$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Faux

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $- 2 < x < 2$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

Étape 16