Algèbre Exemples

$\frac{9 x}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 10}{3 x^{4}}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{9 x}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{9 x}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 5 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 (x) - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 x + 2 \cdot - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $x (x + 5)$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x}{x - 5} \cdot \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{9 x}{x - 5}$ par $\frac{x}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{9 x \cdot x}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x)}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{1})}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{1 + 1}}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Étape 8

Associez.

$\frac{9 x^{2} ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2} ((x - 2) (x + 5))$ .

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})$ .

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{3 ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4}))}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{3 ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4}))}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2} ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 10.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} ((x - 2) (x + 5))$ .

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})$ .

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{x^{2} ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2}))}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{x^{2} ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2}))}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2})}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) x^{2}}$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 5)}{((x - 5) \cdot (2)) (x^{2})}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Déplacez $2$ à gauche de $x - 5$ .

$\frac{3 (x + 5)}{2 \cdot (x - 5) x^{2}}$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 (x + 5)}{2 (x - 5) x^{2}}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{2 x^{2} (x - 5)}$