Algèbre Exemples

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) = 1$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{2}{3} x - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Étape 5

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{3} = 2 π + \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 9.2.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{4 π + π}{2}$

Étape 9.2.5.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{5 π}{2}$

Étape 9.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 9.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.4.2.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{5 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 9.4.2.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{15 π}{2 \cdot 2}$

Étape 9.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $\frac{2}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Étape 10.3

$\frac{2}{3}$ est d’environ $0.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Étape 10.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 10.5.3

Réécrivez l’expression.

$π \cdot 3$

Étape 10.6

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ est $3 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $3 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n, \frac{15 π}{4} + 3 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , pour tout entier $n$