Algèbre Exemples

$\frac{2}{x^{2} - 9} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 x}{(x - 3) (x - 2)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x - 3) (x - 2) (x + 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)} - \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 2) - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 4 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 3}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{2 x - 4 - 3 x^{2} - 9 x}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.6

Soustrayez $9 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 7 x - 4 - 3 x^{2}}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{2} - 7 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 4 = 12$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 6.8.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 7 (x) - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 3$ plus $- 4$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 3 - 4) x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 x - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 3 x^{2} - 3 x) - 4 x - 4}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x (- x - 1) + 4 (- x - 1)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + 1) (3 x + 4)}{(x + 3) (x - 2) (x - 3)}$