Algèbre Exemples

$y = (- 10 + 5 s) (- 9 + 9 s)$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1.1

Développez $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 (- 9 + 9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Étape 1.1.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Étape 1.1.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Étape 1.1.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.2.1.1

Multipliez $- 10$ par $- 9$ .

$90 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Étape 1.1.1.1.2.1.2

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$90 - 90 x + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Étape 1.1.1.1.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 x (9 x)$

Étape 1.1.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x \cdot x$

Étape 1.1.1.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 (x \cdot x)$

Étape 1.1.1.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x^{2}$

Étape 1.1.1.1.2.1.6

Multipliez $5$ par $9$ .

$90 - 90 x - 45 x + 45 x^{2}$

Étape 1.1.1.1.2.2

Soustrayez $45 x$ de $- 90 x$ .

$90 - 135 x + 45 x^{2}$

Étape 1.1.1.1.3

Déplacez $90$ .

$- 135 x + 45 x^{2} + 90$

Étape 1.1.1.1.4

Remettez dans l’ordre $- 135 x$ et $45 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 135 x + 90$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 45$

$b = - 135$

$c = 90$

Étape 1.1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 135}{2 \cdot 45}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 135$ et $45$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Factorisez $45$ à partir de $- 135$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{2 \cdot 45}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.2.1.2.1

Factorisez $45$ à partir de $2 \cdot 45$ .

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 1.1.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 90 - \frac{{(- 135)}^{2}}{4 \cdot 45}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Élevez $- 135$ à la puissance $2$ .

$e = 90 - \frac{18225}{4 \cdot 45}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $45$ .

$e = 90 - \frac{18225}{180}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $18225$ et $180$ .

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Étape 1.1.1.5.2.1.3.1

Factorisez $45$ à partir de $18225$ .

$e = 90 - \frac{45 (405)}{180}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.5.2.1.3.2.1

Factorisez $45$ à partir de $180$ .

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 90 - \frac{405}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Pour écrire $90$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = 90 \cdot \frac{4}{4} - \frac{405}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.3

Associez $90$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{90 \cdot 4}{4} - \frac{405}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{90 \cdot 4 - 405}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.2.5.1

Multipliez $90$ par $4$ .

$e = \frac{360 - 405}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5.2

Soustrayez $405$ de $360$ .

$e = \frac{- 45}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{45}{4}$

Étape 1.1.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 45$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{45}{4}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 45}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $45$ .

$\frac{1}{180}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{1013}{90}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foyer : $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Axe de symétrie : $x = \frac{3}{2}$

Directrice : $y = - \frac{1013}{90}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foyer : $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Axe de symétrie : $x = \frac{3}{2}$

Directrice : $y = - \frac{1013}{90}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (- 10 + 5 (1)) (- 9 + 9 (1))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5) (- 9 + 9 (1))$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 10$ et $5$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9 (1))$

Étape 2.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9)$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (1) = - 5 \cdot 0$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Foyer : $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Axe de symétrie : $x = \frac{3}{2}$

Directrice : $y = - \frac{1013}{90}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Étape 4