Algèbre Exemples

$\log (7 x - 11) \leq 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (7 x - 11) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log (7 x - 11) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 7 x - 11$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $7 x - 11 = 10^{2}$ .

$7 x - 11 = 10^{2}$

Étape 2.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$7 x - 11 = 100$

Étape 2.2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 100 + 11$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $100$ et $11$ .

$7 x = 111$

Étape 2.2.4

Divisez chaque terme dans $7 x = 111$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 111$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{111}{7}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (7 x - 11) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (7 x - 11)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 x - 11 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’inégalité.

$7 x > 11$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x > 11$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x > 11$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{11}{7}$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(\frac{11}{7}, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{11}{7}$

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$

$x > \frac{111}{7}$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{11}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{11}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (7 (0) - 11) \leq 2$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (7 (4) - 11) \leq 2$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $1.23044892$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{111}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{111}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (7 (18) - 11) \leq 2$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $2.06069784$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{11}{7}$ Faux

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Vrai

$x > \frac{111}{7}$ Faux

$x < \frac{11}{7}$ Faux

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Vrai

$x > \frac{111}{7}$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{11}{7}, \frac{111}{7}]$

Étape 8