Algèbre Exemples

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 5$

$x = 2, - 2$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = - 5, 2, - 2$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 10.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 10.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 10.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 10.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 10.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 10.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 10.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((- 8) + 5)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 4} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0.15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((- 4) + 5)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 4} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0.08\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((0) + 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 6.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{((4) + 5)}^{2}}{{(4)}^{2} - 4} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $6.75$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 5$ ou $- 5 \leq x < - 2$ ou $x > 2$

Étape 14

Associez les intervalles.

$x < - 2 or x > 2$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Étape 16